\documentclass[10pt,landscape]{report}
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\entete{Développements limités - Épreuves d'examen }{Développements limités - Épreuves d'examen}{BTS domotique 1}%g,d,b

\graphicspath{{/home/moi/Photos/Tehessin/}{/home/moi/Figures/FigSeconde/}}

\newcolumntype{A}{>{\arraybackslash}X}





\newcommand{\MarqueCommandeGiac}[1]{%
    \color{gray}$>\ $}
\newcommand{\MarqueLaTeXGiac}{%
    \color{blue}}
\newcommand{\InscriptionFigureGiac}[1]{%
    \begin{center}
	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{#1}
    \end{center}}




\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}





\psshadowbox*[fillcolor=0.9white,framearc=.25]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE\bfseries \begin{center} BTS domotique 1 - Développements limités
    -
    Épreuves d'examen \end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}
         

\begin{multicols}{2}

% exo1

\exot{}

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-2)(3,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-2)(3,5.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridwidth=0.5pt,subgriddiv=1](0,0)(-5,-2)(3,5)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000]{-5}{1.3}{2.71828^(2*x)-(x+1)*2.71828^x}
\rput(1.2,2.5){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

	Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[f(x)=\text{e}^{2x}- (x + 1)\text{e}^x.\]
 Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée dans un repère orthogonal ci-contre.








\begin{enumerate}
 \item 
	\begin{enumerate}
		 \item Démontrer que pour tout réel $x,\,f'(x)=\text{e}^x(2\text{e}^x-2-x)$.
		\item En déduire le coefficient directeur $f'(0)$ de la tangente  $T$ à la
courbe $\mathcal{C}$ au point d'abcisse $0$.\\
Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		 \item Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de
la fonction $x\longmapsto\text{e}^{2x}$.
		\item Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$,
de la fonction $f$ est :
\[f(x)=\frac{x^2}{2}+x^2\varepsilon (x)\quad\text{avec}\quad \lim_{x\to 0}\varepsilon(x)=0.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


%exo2
\exot{}



On rappelle que $g$ est la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \dfrac{4{e}^x}{{e}^x + 1}$	et on note $\mathcal{C}$ la courbe
représentative de $g$ dans un repère orthogonal.

	On admet que le développement limite à l'ordre 3 de la fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{{e}^x + 1}$	au voisinage de $0$ 
est :
 
 \[\dfrac{1}{{e}^x + 1} = \dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{48}x^3	+ x^3 \epsilon(x)~~ \text{avec} \lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\]

(Ce résultat n'a pas à \^etre démontré).

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que le développement limité à l'ordre 3 de la fonction $g$ au voisinage de $0$ est

\[g(x) = 2 + x - \dfrac{x^3}{12} + x^3 \epsilon(x)~~ \text{avec}~~ \displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\]

\item   En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ et la position relative de $T$ et $\mathcal{C}$ au voisinage de ce point.
\end{enumerate}


%exo3
\exot{}


Soit $\varphi$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $\varphi(t)=1-\text{e}^{-710t}$.\\
On désigne par $C$ la courbe représentative de $\varphi$ dans un repère orthogonal \Oij{} où on prend comme unités : 10 cm pour 0,01 sur l'axe des abscisses et 10 cm pour 1 sur l'axe des ordonnées.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $\varphi$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$.
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le développement limité à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $\varphi$ est
\[\varphi(t)=710t-\dfrac{(710t)^2}{2}+t^2\varepsilon(t)\quad\text{avec}\quad \lim_{t\to 0}\varepsilon(t)=0.\]
\item En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse $0$, ainsi que la position relative de $C$ et $T$ au voisinage de ce point.
\end{enumerate}
\item Tracer sur la copie la tangente $T$ et la courbe $C$ dans le repère \Oij{} défini au début de la partie \emph{B}. On pourra se limiter à la partie de $C$ correspondant à l'intervalle $[0~;~0,01]$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer par le calcul le nombre réel positif $\alpha$ tel que $\varphi(\alpha)=0,5$.\\
Donner la valeur exacte de $\alpha$, puis sa valeur approchée arrondie à $10^{-5}$.
		\item Retrouver sur la figure le résultat obtenu au a) : faire apparaître les constructions utiles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}







%exo4
\exot{}



Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(t) = \text{e}^{- \dfrac{t^2}{10^4}}$.

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe  représentative dans un repère onhogonal. 
 	
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to - \infty} f(t)$ et $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$. 
		\item  Interpréter graphiquement les résultats obtenus au a. 
	\end{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$.
 
Un logiciel de calcul formel donne l'expression de $f'(t)$ :
 
pour tout $t$ de $\R,~ f'(t) = -  \dfrac{2t}{10^4}\text{e}^{- \frac{t^2}{10^4}}$.

\emph{Ce résultat, admis, n'a pas à être démontré.} 

	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f'(t) \geqslant 0$. 
		\item En déduire le sens de variations de $f$ sur $\R$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide du développement limité, à l'ordre 1, au voisinage de $0$, de la fonction $u \longmapsto \text{e}^u$, calculer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $f$. 
		\item  Sur la figure ci-après sont tracées la courbe $\mathcal{C}$ et la courbe représentative $\Gamma$ de la 
fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(t) = 1- \dfrac{t^2}{10^4}$.

Donner une interprétation graphique du résultat obtenu au B. 3. a. 
	\end{enumerate}
	
\medskip
	
\psset{xunit=0.03cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-200,-0.1)(200,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=100]{->}(0,0)(-200,-0.1)(200,1.1)
\psplot[linecolor=blue]{-200}{200}{2.71828 x dup mul neg 10000 div exp}
\psplot[linecolor=red]{-110}{110}{1 x dup mul  10000 div sub}
\uput[d](200,0){$t$}\uput[dr](0,0){O} \uput[l](0,1.1){$y$}
\end{pspicture}

\bigskip

\item D\'emontrer que $\displaystyle\int_{0}^{30} \left(1 - \dfrac{t^2}{10^4}\right)\:\text{d}t  = 29,1$. 

\end{enumerate}







\exot{}

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormal \Oij, de la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
\[f(x)=(x+2)\text{e}^{-x}.\]

\begin{center}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(-4.1,-4.1)(4.1,4.1)
\psaxes{->}(0,0)(-4.1,-4.1)(4.1,4.1)
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{-2.375}{4}{x 2 add  2.71828 x exp div}
\psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabels=0pt](-4,-4)(4,4)
\rput(-0.3,-0.3){O}
\rput(3.8,-0.4){$x$}
\rput(-0.3,3.8){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le développement limité à l'ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction $f$ est
\[f(x) = 2 - x+\dfrac{x^3}{6}+x^3\varepsilon(x)~ \text{ avec } \lim_{x \to 0} \varepsilon(x) = 0.
\]

\item Déduire du \textbf{1} une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

\item Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $T$ au voisinage du point d'abscisse $0$.
\end{enumerate}



\exot{}



Soit $f$ la fonction définie sur $\left]  -1;+\infty\right[  $ par
$f\left(  x\right)  =\frac{2+\ln\left(  1+x\right)  }{1+x}$

Sa courbe représentative $\mathcal{C}$, dans un repère orthonormal
où l'unité graphique est 1 cm, est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\begin{pspicture*}(-1.2,-2.2)(9.5,3.2)
\psgrid
[gridcolor=blue,gridlabels=0,griddots=8,subgriddiv=0](0,0)(-1.2,-2.2)(9.5,3.2)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.2,-2.2)(9.5,3.2)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotstyle=curve,plotpoints=1500]{-0.891}
{9.5}{1 x add ln 2 add 1 x add div}
\rput(1.2,1.8){$\mathcal{C}$}
\uput[l](0,1){1}
\uput[d](1,0){1}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  On admet que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1}f\left(  x\right)  =-\infty$
et que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(  x\right)  =0.$\\\
Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?

\item
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que, pour tout $x$ de $]  -1~;~+\infty[
,\; f^{\prime}\left(  x\right)  =\dfrac{-1-\ln(1+x)}{(
1+x)^{2}}$

\item  Résoudre dans $]  -1~;~+\infty[  $ l'inéquation
$-1-\ln(1+x)  \geqslant 0.$\\
En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ lorsque $x$ varie dans $]  -1~;~+\infty[.$

\item  Établir le tableau de variation de $f.$
\end{enumerate}

\item  Un logiciel de calcul formel donne le développement limité,
à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction $f:$%
\[
f\left(  x\right)  =2-x+\frac{1}{2}x^{2}+x^{2}\,\varepsilon(x)
\text{ avec } \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\varepsilon(x)  = 0
\]
\newline \emph{Ce résultat, admis, n'a pas à être dé%
montré.}

	\begin{enumerate}
		\item  En déduire une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la
courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

		\item  Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{T}$ au voisinage de leur point d'abscisse 0.$\bigskip$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}





\exot{}



Soit $f$ la fonction définie sur $\left[0~;~+\infty\right[$ par 
\[f(x)  = 0,4 x \text{e}^{-0,2x^{2}}.\]
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij, les unités graphiques étant
de 2~cm sur l'axe des abscisses et de 10~cm sur l'axe des ordonnées.

\begin{enumerate}
\item On admet que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)  =0.$\\
Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?

\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $x$ de $\left[0~;~+\infty\right[ ,$

\[f^{\prime}(x)  =0,4\left(1- \sqrt{0,4}~x\right)  \left(
1+\sqrt{0,4}~x\right)  \text{e}^{-0,2x^{2}}\]

\item En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ sur $\left[
0~;~+\infty\right[.$

\item Donner le tableau de variations de $f$ sur $\left[0~;~+\infty\right[.$\newline On y fera figurer la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ du maximum de la fonction $f.$
\end{enumerate}

\item Un logiciel de calcul formel fournit pour $f$ le développement limité suivant, à l'ordre 3, au voisinage de 0 : 
\[f(x)  =0,4x - 0,08 x^{3} + x^{3}\varepsilon(x)~ \text{avec}~ \displaystyle\lim_{x\to
0}\varepsilon(x)  =0.\]
\textbf{Ce résultat est admis et n'est donc pas à démontrer.}\newline En déduire une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$, et la position
relative de $\mathcal{T}$ et de $\mathcal{C}$ au voisinage de ce point.

\item Tracer sur la copie la tangente $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$
dans le repère \Oij{} défini au début de la partie \emph{B.}
\end{enumerate}





\exot{}


\begin{enumerate}
\item La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente dans un repère orthonormal \Oij{} une fonction $f$
définie sur $\R$ par $f(x)  =(ax +b)\text{e}^{-x},$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.\\
 La droite $\Delta$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 0. Cette tangente passe par le point B de coordonnées (3~;~0).
 
 \medskip
 

\psset{xunit=1.4,yunit=1.4}
\noindent \begin{pspicture}(-2,-2)(6,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.01,gridlabels=0.3](0,0)(-2,-2)(6,4)
\psline(-1,4)(5,-2)
\psline(-2,0)(6,0)
\psline(0,-2)(0,4)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000]{-1.69}{6}{ 2 x mul 3 add 2.7 x neg exp mul}
\rput(-1.3,2.5){$\mathcal{C}$}
\rput(3.1,0.2){B}
\rput(-0.5,3.8){$\Delta$}
\rput(0.2,3.2){A}
\end{pspicture}


\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement $f(0).$

\item Déterminer, graphiquement ou par le calcul, $f^{\prime}(0).$

\item Déterminer les valeurs des nombres réels $a$ et $b.$\\
\textbf{Dans la suite on admet que }\boldmath $f$  \textbf{est définie sur} \boldmath$\R$ \unboldmath \text{par : }%
\[
f\left(  x\right)  =(2x+3)\text{e}^{-x}%
\]


\item Démontrer que, pour tout $x$ de $\R:$ $f^{\prime}(x)  =(-2x - 1)\text{e}^{-x}$ ;

\item Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'inéquation $f^{\prime}(x)  \geqslant 0$ ;

\item En déduire le sens de variations de $f$ sur $\R$\\
(on ne cherchera pas les limites en $-\infty$ et $+\infty$)
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au
voisinage de $0$, de la fonction $x\mapsto \text{e}^{-x}.$

\item Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au
voisinage de $0$, de la fonction $f$ est : $f\left(  x\right)  =3 - x - \dfrac{1}{2}x^{2} + x^{2}\varepsilon(x)$ avec $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\varepsilon(x)  = 0.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}













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