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\lstset{numbers=none,language=XCAS,%
keywordstyle =\color{0.4white}\bfseries\small\sffamily,basicstyle=\small\sffamily,
    backgroundcolor=\color{0.9white}}



\entete{Statistiques}{Simulation d'expériences aléatoires}{2\textsuperscript{nde}13}%g,d,b
\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}

\Enc{Expériences aléatoires}{0.9white}{1} % titre,couleur,taille h

\section{Problème du Duc de Toscane}


\subsection{Un peu de (petite) histoire}
Cosme II de Médicis  (Florence 1590-1621), Duc de Toscane, fut le  protecteur de l'illustre Gallilée
(né à Pise le 15 février 1564 et mort à Florence le 8 janvier 1642) son ancien précepteur. Profitant
d'un moment de répit du savant entre l'écriture d'un théorème sur la chute des corps et la création
de la lunette astronomique, le Grand Duc lui soumet le problème suivant~:~il a observé qu'en lançant
trois dés cubiques et en  faisant la somme des numéros des faces, on obtient  plus souvent 10 que 9,
alors qu'il y a autant de façons d'obtenir 9 que 10, à savoir six. 

Après  quelques réflexions,  Galilée  rédigea  un petit  mémoire  sur les  jeux  de  hasard en  1620
expliquant le phénomène. 

\subsection{Simulation de l'expérience}

N'ayant pas la même expérience du jeu que  le bon Cosme, nous allons utiliser notre logiciel favori,
XCAS, pour simuler un grand nombre de parties et étudier statistiquement les résultats obtenus. 

\begin{enumerate}
\item Nous utiliserons  en premier lieu  \Coms{rand}{n} qui renvoie  un entier appartenant  à l'intervalle
$[0\pv n[$. 

Comment utiliser cette commande pour obtenir le résultat du lancer d'un dé~? De trois dés~?

\item Plutôt que d'appuyer 100 000 fois sur la touche \texttt{Entrée}, nous allons utiliser une commande
  plus pratique, \Coms{ranm}{1,nombre d'expériences,'expérience'} qui renvoie une liste
  de \texttt{nombre d'expériences} résultats de l'\texttt{expérience}. 

Par exemple \Coms{ranm}{1,10000,'rand(3)'} renverra $10\,000$ nombres entiers égaux à 0, 1 ou 2. 

Construisez alors une liste \texttt{T} de $100\,000$ tirages de notre problème ducal. 

\item On utilisera  également \Coms{count\_eq}{n,liste} qui compte le  nombre d'apparitions de \texttt{n}
  dans la liste \texttt{liste}. 

Comptez maintenant  le nombre d'apparitions de  9 et 10  dans \texttt{T} puis renouvelez  plusieurs fois
l'expérience. 



\end{enumerate}




\subsection{Simulation à grande échelle}

Observez et commentez ce programme~:

\begin{lstlisting}
  toscane(taille,essais):={
  local neuf,dix,T,n,d,s,k,mn,md;
  neuf:=NULL; dix:=NULL;//on crée 2 listes vides au départ 
  for(k:=1;k<=essais;k++){ //on va faire plusieurs essais
  T:=ranm(1,taille,'rand(6)+rand(6)+rand(6)+3');
  neuf:=neuf,count_eq(9,T); 
  dix:=dix,count_eq(10,T);  
  }
  n:=evalf(mean([neuf])/taille)*100; //mean en anglais ?
  d:=evalf(mean([dix])/taille)*100;
  s:=taille*essais;
  mn:=couleur(moustache([neuf]),jaune+rempli+line_width_3);
  md:=couleur(moustache([dix]),bleu+rempli+line_width_3);
  print("Sur "+s+" essais, la fréquence de sortie de 9 est de "+n+
        ", et celle de 10 est de "+d+);mn,md;
  }:;
\end{lstlisting}

\subsection{Résolution}

Comment expliquez ce phénomène~? Comparez par exemple à les issues (6,2,2) et (6,3,1).


% \section{Médiane : rappel}

% \subsection{Définition}

% \begin{Defi}
% La médiane $M_e$ est un nombre tel que :

% \begin{itemize}

% \item[$\rhd$] \gros{au moins} 50\% des éléments de V sont inférieurs à $M_e$,   
% \item[$\rhd$] \gros{au moins} 50\% des éléments de V sont supérieurs à $M_e$.

% \end{itemize}


% On distingue deux cas selon la parité de $n$ :


% \begin{itemize}
% \item[$\rhd$] \gros{Si \textit{n} est impair} : on sépare V en deux groupes distincts de même effectif. $M_e$ est la valeur centrale, à la fois maximum de la \textit{partie basse} et minimum de la \textit{partie haute};
% \item[$\rhd$] \gros{Si \textit{n} est pair}: on sépare V en deux groupes distincts de même effectif. $M_e$ est la valeur centrale, demi-somme  du maximum de la \textit{partie basse} et du minimum de la \textit{partie haute};
% \end{itemize}

% \end{Defi}

% \subsection{Exemples}


% \begin{itemize}
% \item $V=\big\{\textcolor{blue}{1,2,2,5},5,\textcolor{green}{8,8,9,37}   \big\}$
% \item[$\rhd$] $M_e=5$
% \item $V=\big\{\textcolor{blue}{1,2,2,5},\textcolor{green}{8,8,9,37}   \big\}$
% \item[$\rhd$] $M_e=\fr{\textcolor{blue}{5}+\textcolor{green}{8}}{2}=6,5$

% \end{itemize}





\end{document}
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%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
