


\documentclass[11pt,a4paper,svgnames,landscape]{report}
\usepackage{etex}
\usepackage[height=170mm,width=265mm,left=1.5cm]{geometry}
%\usepackage[height=250mm,width=180mm]{geometry}
\usepackage[french,vlined,boxed]{algorithm2e}
\usepackage[kpfonts,utf8]{preambule}
\usepackage{cclicenses}
\usepackage{xlop}
\usepackage{keystroke}
%\usepackage[colorlinks=true,citecolor=red,dvips]{hyperref}

%\usepackage[Lenny]{fncychap}








 % \DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
\definecolor{0.1white}{rgb}{.1,.1,.1}

%\usepackage[upright]{fourier}
%\usepackage[upright]{kpfonts}
%\usepackage[scaled=0.85]{luximono}
%\usepackage{lmodern}
% \usepackage[boldsans]{ccfonts}
% \usepackage{beton,euler,luximono}

\graphicspath{{/home/moi/Lycee/2nde/2009_10/}{/home/moi/Photos/Maths/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Figures/FigSeconde/}{/home/moi/Figures/figuresTS/}{/home/moi/Lycee/TDmaple/2007_8/}{/home/moi/IREM/IREM10_06_09/}}

\entete{Suites au Bac 2009}{Suites au Bac 2009}{T\up{S}4 - Jean \textsc{Perrin}}%g,d,b

% \sectionfont{\LARGE\color{0.2white}}
% \renewcommand\thesection{\Roman{section} }
% \subsubsectionfont{\large\color{0.6white}}
% \subsectionfont{\Large\color{0.4white}}
% \renewcommand\thesubsubsection{\roman{subsubsection}. }



\setlength{\headheight}{15.2pt}



\begin{document}


\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}

\psshadowbox*[fillcolor=MidnightBlue,framearc=.1]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\color{green!20}\Huge\bfseries\fontfamily{ugq}\selectfont \begin{center}
    Suites au Bac 2009\end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}

\begin{multicols}{2}



\exot{}

Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre. 

\medskip

 {\bfseries\color{MidnightBlue}\bfseries\fontfamily{ugq}\selectfont PARTIE A :}
  
On définit :
\begin{itemize}
\item la suite $\left(u_{n}\right)$ par : $u_{0} = 13$ et, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1}  = \dfrac{1}{5}u_{n} +\dfrac{4}{5}$. 
\item la suite $\left(S_{n}\right)$ par : pour tout entier naturel $n,~ S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k} =  u_{0} +u_{1} +u_{2} + \cdots + u_{n}$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item  Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, u_{n} =  1 + \dfrac{12}{5^n}$.  

En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le sens de variation de la suite $\left(S_{n}\right)$. 
		\item Calculer $S_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 {\bfseries\color{MidnightBlue}\bfseries\fontfamily{ugq}\selectfont PARTIE B :}

 
Etant donné une suite $\left(x_{n}\right)$, de nombres réels, définie pour tout entier naturel $n$, on considére la suite $\left(S_{n}\right)$ 
définie par $S_{n} =  \displaystyle\sum_{k=0}^n x_{k}$.
 
Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse.

 Justifier dans chaque cas. 
 
\begin{itemize}
\item[] Proposition 1: si la suite $\left(x_{n}\right)$ est convergente, alors la suite $\left(S_{n}\right)$ l'est aussi. 
\item[] Proposition 2 : les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(S_{n}\right)$ ont le même sens de variation. 
\end{itemize}






\vspace{1cm}







\exot{}




{\bfseries\color{MidnightBlue}\bfseries\fontfamily{ugq}\selectfont PARTIE A :}


 
 
On considère l'ensemble (E) des suites $\left(x_{n}\right)$ définies sur $\N$ et vérifiant la relation suivante :

pour tout entier naturel $n$ non nul, $x_{n+1} - x_{n} = 0,24x_{n-1}$.

\begin{enumerate}
\item  On considère un réel $\lambda$ non nul et on définit sur $\N$ la suite $\left(t_{n}\right)$ par $t_{n} = \lambda^n$.\\
Démontrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ appartient à l'ensemble (E) si et seulement si $\lambda$ est solution de l'équation $\lambda^2 - \lambda - 0,24 = 0$.\\
En déduire les suites $\left(t_{n}\right)$ appartenant à l'ensemble (E).\\

On admet que (E) est l'ensemble des suites $\left(u_{n}\right)$ définies sur $\N$ par une relation de la forme :
\[u_{n} = \alpha(1,2)^n + \beta(-0,2)^n \quad  	\text{où}~ \alpha~ \text{et}~\beta~ \text{sont deux réels.}\]

\item  On considère une suite $\left(u_{n}\right)$ de l'ensemble (E).\\
Déterminer les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ telles que $u_{0} = 6$ et $u_{1} =  6,6$.\\
En déduire que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} = \dfrac{39}{7}(1,2)^n + \dfrac{3}{7}(-0,2)^n$.

\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n}$.
\end{enumerate}

\medskip

 
 {\bfseries\color{MidnightBlue}\bfseries\fontfamily{ugq}\selectfont PARTIE B :}

On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\N$ par :
\[v_{0} =  6~ \text{et, pour tout entier naturel}~ n,~v_{n+1} =  1,4v_{n} - 0,05v_{n}^2\]

\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 1,4x - 0,05x^2$.
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8].
		\item  Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
		
 $0 \leqslant  v_{n} < v_{n+1} \leqslant  8$.
	\end{enumerate}

\item En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
\end{enumerate}




\exot{}


 {\bfseries\color{MidnightBlue}\bfseries\fontfamily{ugq}\selectfont PARTIE A :}



On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par

\[ f(x) =  \dfrac{x}{\text{e}^{x} - 1}.\]

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Restitution organisée de connaissances :}

La fonction exponentielle est l'unique fonction $g$ dérivable sur $\R$ vérifiant 
\[\left\{\begin{array}{l c l }
g'(x)&=& g(x)\quad  \text{pour tout}~ x \in \R.\\
g(0)& =& 1
\end{array}\right.\]

Démontrer que $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = 1$.

% Pour tout $h \neq 0$,
% $\dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = \dfrac{\text{e}^{h} - \text{e}^{0}}{h}$ 

% On reconnait le taux de variation de la fonction exponentielle entre 0 et $h$, comme cette fonction est dérivable en 0, par définition du nombre dérivé, on a :
% \[ \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = 1 \]

\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.

% Par inverse, on en déduit que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$

\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

% Pour tout $x \neq 0$, $\dfrac{\text{e}^{x} - 1}{x} = \dfrac{\text{e}^{x}}{x} - \dfrac{1}{x} $

% Par comparaison $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\text{e}^{x}}{x} = +\infty$, donc par somme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\text{e}^{x} - 1}{x} = +\infty$

% Enfin, par inverse, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$

\end{enumerate}

\medskip


 {\bfseries\color{MidnightBlue}\bfseries\fontfamily{ugq}\selectfont PARTIE B :}






Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour $n$ entier supérieur ou égal à 1 par :

\[u_{n} = \dfrac{1}{n}\left[1 + \text{e}^{\frac{1}{n}} + \text{e}^{\frac{2}{n}} + \cdots + \text{e}^{\frac{n - 1}{n}} \right]\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $1 + \text{e}^{\frac{1}{n}} + \text{e}^{\frac{2}{n}}
  +  \cdots  + \text{e}^{\frac{n  -  1}{n}}=  \dfrac{1  - \text{e}}{1  -
    \text{e}^{\frac{1}{n}}}$ puis en déduire que 

$u_n=(\mathrm{e}-1)f \left(\frac{1}{n}\right)$.



% On reconnait la somme des premiers termes consécutifs de la suite géométrique de premier terme 1 et raison $\text{e}^{\frac{1}{n}}$

% $\begin{array}{lcl}
% 1 + \text{e}^{\frac{1}{n}} + \text{e}^{\frac{2}{n}} + \cdots + \text{e}^{\frac{n - 1}{n}}&=& \left( \text{e}^{\frac{1}{n}} \right)^0 + \left( \text{e}^{\frac{1}{n}} \right)^1 + \left( \text{e}^{\frac{1}{n}} \right)^2 + \cdots + \left( \text{e}^{\frac{1}{n}} \right)^{n-1} \\
% &=& \dfrac{1 - \left( \text{e}^{\frac{1}{n}} \right)^n}{1 - \text{e}^{\frac{1}{n}}} \\
% &=& \dfrac{1 - \text{e}}{1 - \text{e}^{\frac{1}{n}}}
% \end{array}$

% $(\text{e} - 1) f\left(\dfrac{1}{n}\right) = (\text{e} - 1) \dfrac{\frac{1}{n}}{\text{e}^{\frac{1}{n}}-1} = \dfrac{1}{n} \dfrac{1 - \text{e}}{1 - \text{e}^{\frac{1}{n}}} = u_n$.

\item  En déduire, en utilisant aussi la partie A, que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\text{e} - 1$.

% $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$ et (question A2.) $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)=1$, d'après le théorème donnant la limite de la composée d'une suite et d'une fonction, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} f\left(\dfrac{1}{n}\right) = 1$

% Enfin la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers  $\text{e} - 1$.

\end{enumerate}



\exot{}



Les deux questions de cet exercice sont indépendantes. 

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : 
\[u_{0} = 1 \quad \text{et, pour tout nombre entier naturel} ~ n,~ u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u _{n} + 4.\] 
On pose, pour tout nombre entier naturel $n,~ v_{n} = u_{n} - 6$. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout nombre entier naturel $n$, calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? 
	\item  Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n, u_{n} = -5 \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 6$. 
	\item  Étudier la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item  On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ dont les termes vérifient, pour tout nombre entier $n \geqslant 1$  :
\[ nw_{n}  = (n + 1)w_{n-1} +1~~ \text{et}~~ w_{0} = 1.\] 
Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite. 

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$w_{0}$&$w_{1}$&$w_{2}$&$w_{3}$&$w_{4}$&$w_{5}$&$w_{6}$&$w_{7}$&$w_{8}$&$w_{9}$\\ \hline
1&3&5&7&9&11&13&15&17&19\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
	\item Détailler le calcul permettant d'obtenir $w_{10}$. 
	\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	 
Donner la nature de la suite $\left(w_{n}\right)$. Calculer $w_{\nombre{2009}}$.
	\end{enumerate} 

\end{enumerate}

\end{multicols}

\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% TeX-master: t
%%% End: 
