\documentclass[10pt,a4paper]{report}
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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\pagestyle{empty}


\psshadowbox*[fillcolor=0.9white,framearc=.25]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE\bfseries \sffamily \begin{center} Devoir Surveillé n°1 \hfill Vendredi 3 octobre 2009 \\
                                  BTS Domotique 2 \hfill 2 heures \end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}

\exot{Bière sans alcool}
\emph{Pour   cet   exercice,  on   pourra   s'aider   d'un  tableur   et
  éventuellement imprimer certains résultats si nécessaire.}


Voici un tableau donnant l'évolution sur plus de 5 ans du nombre moyen de
litres de bière sans alcool bus par trimestre par les élèves de BTS d'un
lycée rezéen~:



\begin{center}
             \begin{tabularx}{\textwidth}{Y{5}}
	     \whline
             Année & 2004 & 2005& 2006&2007&2008&2009\\
\whline
             1\up{er} trimestre &72&74&83&83&85&89\\
\hline
             2\up{e} trimestre &101&107&109&117&120&125\\
\hline
             3\up{e} trimestre &91&94&100&105&107&\\
\hline
             4\up{e} trimestre &118&125&123&131&141&\\


             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}
\begin{enumerate}
\item Représentez cette  série chronologique~:~en  abscisse on placera  les 22
trimestres et en ordonnées les litres bus.
\item Lissez cette  série par moyennes mobiles d'ordre  4 et représentez
  la nouvelle série sur le même graphique.
\item Ces nouveaux  points sont presque alignés et  la tendance générale
est  à l'accroissement.   Pour  permettre des  prévisions  pour 2010  et
2011,  l'idée est  de  définir une  droite  représentant cette  tendance
moyenne et de la prolonger pour les trimestres futurs.  
\begin{enumerate}
\item  Calculez les
coordonnées du point A dont  l'abscisse est la moyenne des abscisses des
neuf premiers points et l'ordonnée  la moyenne des ordonnées de ces neuf
points.   Calculer de  même les  coordonnées du  point B  pour  les neuf
derniers points.  

\item   Déterminez une  équation de  la droite  (AB). (On
arrondira les coefficients à 0,01 près) 

Tracez cette droite dans  le même repère.  Cette droite est une
droite de tendance. 

\end{enumerate}

\item À l'aide de la calculatrice  et en prenant la série lissée, donnez
  le coefficient de corrélation linéaire  puis une équation de la droite
  de régression correspondant.


\end{enumerate}



\exot{Poupées syldaves}
\emph{Pour   cet   exercice,  on   pourra   s'aider   d'un  tableur   et
  éventuellement imprimer certains résultats si nécessaire.}

Une machine d{\'e}verse du caoutchouc de fa{\c c}on continue dans un moule pour
fabriquer des poupées Barbues dans une usine délocalisée en Syldavie, plus exactement  dans la ville de Brzscht, connue pour sa fameuse taverne où l'on peut déguster pour à peine 3 zlts la délicieuse bière Szprt servie par de charmantes Syldaves vétues du splendide costume de la province de Rj\`ov\^nzj.

 On veut contr{\^o}ler la r{\'e}gularit{\'e} de l'{\'e}coulement du caoutchouc dont les
 variations affectent  les mensurations des Barbues. On effectue alors des
 mesures sur cette machine  pendant une demi-heure et on obtient des
 masses de caoutchouc en  grammes, chacune {\'e}tant obtenue par un
 {\'e}coulement de caoutchouc  d'une dur{\'e}e de 30 secondes.

Ci-dessous sont donn{\'e}es les 41 mesures obtenues (ces mesures sont
donn{\'e}es en grammes).\\[0.2cm]
\begin{center}
\begin{tabular}{|*9{c|}c|}
\hline
255,8&258,7&259,7&260,3&260,7&261,2&261,2&261,4&262,1&262,2\\\hline
262,3&262,4&263,1&263,4&263,4&263,6&264,1&264,4&264,4&264,5\\\hline
264,5&264,6&264,8&265&265,3&265,5&265,6&265,9&266,1&266,2\\\hline
266,4&267&267,1&267,6&268,7&268,8&269,7&269,8&271&271,9\\\hline
\multicolumn{10}{|c|}{272,9}\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace*{0.3cm}
\begin{enumerate}
\item Pour la s{\'e}rie de ces 41 mesures, compl{\'e}ter le tableau suivant :\\
 \begin{center} \begin{tabularx}{.9\textwidth}{Y{5}}
\whline
m{\'e}diane  $M_e$&1\ier quartile&3\ieme
quartile&minimum&maximum&moyenne&{\'e}cart-type  $s$\\
\whline
&&&&&&\\
\whline
  \end{tabularx}\end{center}

\item  Construire le diagramme en bo{\^\i}te (c'est-{\`a}-dire la bo{\^\i}te {\`a}
  moustaches) de cette s{\'e}rie  en utilisant la m{\'e}diane, le premier
  quartile et  le troisi{\`e}me quartile, le minimum et le maximum.


\item Quel pourcentage des valeurs obtenues lors de ce contr{\^o}le se
  trouvent entre  261,1 g et 267,9 g ?

\item On peut consid{\'e}rer comme aberrantes les valeurs qui sont
  sup{\'e}rieures {\`a}  ($M_e$ +2$s$)  ou qui sont inf{\'e}rieures {\`a} ($M_e$~$-2s$) o{\`u}  $M_e$
  d{\'e}signe  la m{\'e}diane et $s$ l'{\'e}cart-type.\\
 Le contr{\^o}le sur la machine fait-il appara{\^\i}tre des valeurs aberrantes ?
 Lesquelles ?



\item Pour simplifier la lecture de ces données, on regroupe les résultats par classes d'amplitude 2 grammes. La première classe sera $[255\pv 257[$ et la dernière $[271\pv 273[$.

\begin{enumerate}
\item Complétez le tableau suivant
\HorsListe[1]{\small
\begin{center}
\begin{tabularx}{\textwidth}{Y{8}}
\whline
Masse & {\small $[255\pv 257[$} & {\small$[257\pv 259[$} & & & & & & &{\small $[271\pv 273[$}\\
\whline
Centre des classes &&&&&&&&&\\
\hline
Effectif &&&&&&&&&\\
\hline
Fréquence &&&&&&&&&\\
\whline 
\end{tabularx}
\end{center}
}
\item Représentez la fonction de répartition associée en ne considérant que les centres des classes.

\item À partir du graphique et en laissant apparant vos tracés, déterminez quartiles et médianes.

\item Construisez le diagramme en boîte correspondant. A-t-on perdu beaucoup d'informations en regroupant les résultats par classes~?

\end{enumerate}





\end{enumerate}



\exot{Résolution d'une équation différentielle}

\noindent On considère l'équation différentielle $(E)$  :%
\[\left(  1+x\right)  y^{\prime}+y=\frac{1}{1+x}\]
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x,$ définie et
dérivable sur $\left]  -1;+\infty\right[  $ et $y^{\prime}$ sa fonction
dérivée.

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que les solutions sur $\left]  -1;+\infty\right[  $ de
l'équation différentielle $\left(  E_{0}\right)  :$%
\[(1+x)  y^{\prime}+ y = 0 \]
sont les fonctions définies par $h(x)  =\dfrac{k}{x+1}$ où
$k$ est une constante réelle quelconque.

\item  Soit $g$ la fonction définie sur $]  -1~;~+\infty[  $ par
$g(x)  =\dfrac{\ln (1+x)}{1+x}$\\
Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de
l'équation différentielle $(E).$

\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation
différentielle $(E)$.

\item  Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle
$\left(  E\right)  $ qui vérifie la condition initiale $f(0)
=2.$
\end{enumerate}


\exot{Résolution d'une équation différentielle}


 Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle 
\[(\text{E}_0) ~~:\quad  y''- 3y'-4y=0.\]





\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
